分形简介（Introduction to fractal）

为什么要谈分形？分形几何的创始人 Mandelbrot 在他的名著《大自然的分形几何学》中曾说过：“为什么几何学常常被说成是‘冷酷无情’和‘枯燥无味”的？原因之一在于它无力描写云彩﹑山岭﹑海岸线或树木 的形状。云彩不是球体﹑山岭不是锥体﹑海岸线不是圆周﹑树皮并不光滑﹑闪电更不是沿着直线传播。”（Mandelbrot著，陈守吉 凌复华译，《大自然的分形几何学》，上海远东出版社，1998年）传统的几何学不能够描述大自然的复杂性和多样性，从而也就不能够帮助我们了解这些复杂性 和多样性背后的机制，而分形几何学在描述和理解大自然的复杂性和多样性方面都是有帮助的。
Mandelbrot不是第一个发现分形现象的人，早在他之前，数学家们就开始在数学邻域研究这一现象了。然而，Mandelbrot是第一个意识到分形 不仅仅存在于数学家的模型中，在我们的自然界中，处处存在分形。说到这里，不得不提起一个人，正是他的研究直接激发了Mandelbrot的发现，这个人 就是前面曾提到过的Richardson（参看《K41理论之功率谱》）。他发现两个相邻的国家发布的同一边界线长度存在明显的差别（参看《大自然的分形 几何学》），并且与我们往常的经验不同，尺子的精度越小，测量到的海岸线长度越大，而非趋近于某一个特定的值。Mandelbrot深入研究了这个问题， 指出海岸线随尺子精度的变化类似于数学中研究的一类具有自相似特征几何体。海岸线正是由于具有自相似的特征，其长度才会随着尺子精度的变短而不趋近于稳定 值。因此，在谈论海岸线的长度时必须同时给出测量仪器的精度，否则单独的谈论海岸线长度是没有意义的。如果我们一定要问海岸线真正的长度是多少？答案是 ——无穷长（B.B. Mandelbrot, How Long Is the Coast of Britain?, Science, 156,3775）。像海岸线这类具有自相似特征的几何体就是分形。

Richardson是博主非常敬仰的一个牛人，这是因为他并没有把自己束缚在某一特定的领域来做研究，他是一个真正意义上的自然学家。例如：他是世界上 第一个做数值天气预报的人，他的湍流级窜的思想启发了K41理论的建立，而这个思想仍然是目前关于湍流机理图像最深刻的认识。另外，他也曾用数学知识来理 性地分析国家之间冲突的根源。像这样的牛人还有一个，那就是大名鼎鼎的Feynman，他曾经说过一段很有意思的话：“有一位诗人曾经说过：‘整个宇宙就 存在于一杯葡萄酒中。’我们大概永远不可能知道他是在什么含义上这样说的，因为诗人的写作并不是为了被理解。但是真实的情况是，当我们十分接近地观察一杯 葡萄酒时，我们可以见到整个宇宙。这里出现了一些物理学的现象：弯弯的液面，它的蒸发取决于天气和风；玻璃上的反射；而在我们的想象中又添加了原子。玻璃 是地球上的岩石的净化产物，在它的成分中我们可以发现地球的年龄和星体演化的秘密。葡萄酒中所包含的种种化学制品的奇特排列是怎样的？它们是怎样产生的？ 这里有酵素、酶、基质以及它们的生成物。于是在葡萄酒中就发现了伟人的概括：整个生命就是发酵。任何研究葡萄酒的化学的人也必然会像巴斯德 （L.Pasteur）所做过的那样发现许多疾病的原因。红葡萄酒是多么的鲜艳！让它深深地留在人们美好的记忆中去吧！如果我们微不足道的有限智力为了某 种方便将这杯葡萄酒——这个宇宙——分为几个部分：物理学、生物学、地质学、天文学、心理学等等，那么要记住大自然是并不知道这一切的。所以让我们把所有 这些仍旧归并在一起，并且不要忘记这杯酒最终是为了什么。让它最后再给我们一次快乐吧！喝掉它，然后把它完全忘掉！”（理查德·费曼　著，《费曼物理学讲 义》，上海科学技术出版社，1989年第1版，第一卷第三章）
博主请出Richardson和Feynman这两位老前辈，只是想说明：牛人们涉足百家的做法我们固难效仿，但是平时多关注一下其它学科的发展，以一种理性和包容的心态看待他人的研究，这点我想还是我辈菜鸟能做到的吧。

本帖发布的学习笔记写于2005年11月份的样子，可在http://picasaweb.google.com/leilphy/UTiboH#下载。当时，王老师想看看能否将非线性和复杂性科学的方法和概念引入到高能物理中，要我写一些介绍分形基本知识的报告，然而此事最终无果，报告也就写了一篇，就是本帖的附件，内容有：
题目：分形
一、为什么要谈分形
二、分形的特征——从一个简单的数学模型Koch曲线谈起
三、一维布朗运动模型—— 一个应用广泛的随机分形的例子
笔记中如有任何疏漏、错误，请不吝指教，博主对此表示万分地感谢。另外如果您觉得哪一部分有参考价值而引用到您的文章中，请指明引用的来源：http://sanshiphy.blogspot.com 或者http://www.sciencenet.cn/u/sanshiphy，博主不胜感激。

短期气候预测（Short-term climate forecast ）

从方法论上来看，短期气候预测主要有两类方法：统计学方法和动力学方法。事实证明，由于统计学方法的固有局限性，它不可能 成为预测的成功之路。在数值天气预报成功的背景下，人们又转向短期气候预测的动力学方法。值得一提的是，Cane 和Zebiak 1986 年设计的一个简单的大气耦合海洋模式，模式范围在太平洋124E～80W，29N～29S。该模式成功地预测了1986-1987年和1991-1992 年的厄尔尼诺事件。这两次预报的成功，给气象界以极大的鼓舞，似乎短期气候预测即将突破了。然而，这个模式在随后的厄尔尼诺预测中却完全失败了。在我国， 曾庆存等利用了IAP CGCM率先开展汛情降水的跨季度预报。随后，IAP气候预测研究小组逐步建立和完善了IAP跨季度短期气候距平预测系统（IAP PSSCA）。这个系统对我国夏季大范围降水异常形式有较好的预报能力，但是该预测系统同样存在一些不足之处。在大气环流模式基础上发展出的气候模式，现 在全世界已有30多个，投入了大量的人力和财力，但从业务预报的角度看，收效甚微。
丑纪范（新疆气象，2003年第26卷第1页）认为现行的动力学方法存在三个根本性的缺陷：一是初值问题只是利用了一个时刻的值，而忽视了对历史资料的使 用。实际上，历史资料中含有丰富的气候变化规律，合理利用这些资料将会显著提高气候预测的水平。另一方面，由于观察精度的限制，初始场特别是空间的初始 场，不能精确地获得，这极大地限制了动力预报的水平。 二是没有考虑到混沌效应，以为只要提高分辨率，就能提高预报的期限。众多的数值试验表明，对月、季预报而言，模式分辨率的细化并不能改善预报，在亚洲季风 区和青藏高原东南侧，反而预测效果有所下降。三是预报没有针对性，与动力理论脱节。一心地为了发展更加逼真的大气模式并不是一条可行之路。许多无关紧要的 细节问题一方面会加大我们的计算难度，另一方面，由于我们对这些细节问题并不完全清楚，在模式中大量地应用参数化等方法来模拟这些细节。这样每个细节的加 入同时也加入了相应的误差，因此最终的结果可能会受到这些细节带来的大量误差影响而与事实不符。
下面谈一下对上述第三个根本性缺陷的个人认识和想法。首先，丑老师指出的其实是一条科学研究，特别是在物理学研究中，的通行之法。在物理学研究中，最能体 现这方面道理的当属爱因斯坦的随机行走模型。这个模型是为了研究布朗运动（液体中微小颗粒物的运动）的规律而提出的。按照一般人的想法，可能会去研究颗粒 物的受力方程，流体的运动方程和热力学方程，然后写一个逼真的模式，用超级计算机来解这个模式。可是，爱因斯坦是如何做的呢？他假设颗粒物就像一个喝醉的 醉汉，沿着一条笔直的马路晃晃悠悠地走着，他既可向前走，也可向后走，向前走和向后走的几率是一样的。就是这么简单并且看似玩笑的模型，却预言了布朗运动 的许多现象，并引出了一个Nobel奖。在现在看来，爱因斯坦的模型仍然是研究（包括预测）布朗运动的最基本的方法，前面所说的建立逼真模式的方法在这一 领域却毫无用武之地。爱因斯坦之所以会成功，就是因为他抓住了布朗运动的最为本质的特征，并且完全忽略掉那些对本质没有影响或影响甚微的因素。其次，任何 预报要么建立在经验的基础之上，如统计学方法所做的那样，要么建立在对客观事物充分理解的基础之上，如动力学方法所试图去做的那样。可是事实证明，统计学 方法在气候预报上并不成功。然而，动力学方法的理解却是很有限的。动力学方法是一套建立在牛顿力学上的方法，在物理学中，这就是所谓的还原论方法。物理学 中用这种方法来研究简单系统的运动规律是行之有效的，然而用来研究具有大量自由度，并且自由度之间还有强烈相互作用的非线性巨复杂系统（如大气系统）来 说，就显得力不从心了。因此要去理解大气这样一个复杂的系统，我们首先就要摆脱牛顿力学的束缚，来研究大气深层次的运动规律。例如，发表在Nature第 441卷第329页一篇题为“Links between annual, Milankovitch and continuum temperature variability”的文献，利用地表温度观测资料（包括古气候代用资料）进行分析后指出，在各种时间尺度上存在着的气候变化是紧密地联系在一起的， 因此对任一时间尺度上气候变化的了解需要对整个时间尺度上的变化有一定的了解。这个研究在一定程度上颠覆了我们以往对气候变化的理解，并启发我们来研究大 尺度的气候变化（甚至上朔到数千万年的冰期和间冰期变化）是如何影响我们现在年际尺度的变化。这其中涉及到气候变化的长程关联的问题，关于长程关联，这在 统计物理和复杂性科学中有较多的研究，我们不妨可以借鉴他们的研究成果。总之，我认为只有这样的研究才会使得我们对气候变化有更深层次的理解。

天气与气候预报（预测）的不确定性与可预报性（On the Predictability）

19～20世纪上半叶线性动力学理论在科学领域获得的巨大成功，使人们产生了一个错误的印象。这个错误的印象，集中体现在 著名的数学家Laplace的那个著名的论述中：“Let us imagine an Intelligence who would know at a given instant of time all forces acting in nature and the position of all things of which the world consists; let us assume, further, that this Intelligence would be capable of subjecting all these data to mathematical analysis. Then it could derive a result that would embrace in one and the same formula the motion of the largest bodies in the universe and of the lightest atoms. Nothing would be uncertain for this Intelligence. The past and the future would be present to its eyes.”【引自R. C. Hilbron, Chaos and Nonlinear Dynamics, Cambridge University Press, p.40 (1994)】。在早期的天气数值预报中，人们努力地去扮演Laplace所说的那个“智者”（Intelligence）的角色。一方面，通过不断地改 进数值模式，使得它不断地逼进真实的大气系统。另一方面，不遗余力地改进观测设备，以期获得分辨率和精度都更高的初始场。然而最终的结果总是事与愿违，无 论数值模式多么地被认为逼真，无论初始场测量多么地精确，长期天气预报的准确度仍然与猜测没什么区别，有时甚至还要差。这样，天气可预报性问题就很自然地 摆在了人们的面前。1957年，Thompson首次提出了数值天气预报的可预报性问题。随后的1963年，Lorenz在他简化的天气模式中发现了混沌 现象（J. Atmos. Sci. 20,130）。这是一个非常重要的发现，它不仅开拓了现代非线性动力学的研究，也加深了我们对于天气和气候可预报性的认识。通过混沌理论，我们认识到即 使我们能设计出百分之百正确的模式，然而由于初始场始终存在误差，哪怕这个误差很小，随着时间的推移它也会使得模式的结果与实际情况出现非常大的偏差。 Lorenz等人基于混沌理论的研究结果表明，大气过程的确定性预报时限是有限的，大尺度天气形势数值预报最长不超过两周。针对初始场误差所带来的困难， 近年来提出了“系综预报”的方法，即采用具有误差概率分布的初始场，以及一组多个甚至几十个数值模式来进行综合数值预报，最后求得预报结果的统计规律。然 而，上述关于天气和气候可预报性的研究都未跳出确定性科学的框架。周秀骥曾撰文指出（气象学报，2005年第63卷第806页）：一方面，分子热运动是不 稳定流体中湍流形成之源，由此形成不同宏观尺度的随机运动是大气运动固有的属性。另一方面，决定大气过程的外强迫（如太阳辐射）和外边界（如地-气相互作 用）也是随机变化的。因此，数值天气预报存在预报时效，并且这个时效是由大气运动固有随机性所决定的，与误差无关。
从以上的调研中，我得出一个印象，那就是可预报性研究要想取得突破，关键在于对大气运动过程的机制要有深刻的理解。从方法论上将，要想理解大气运动的机 制，不能指望于花俏的数学技巧，更不能依赖晦涩的哲学思辨，而是要借助于踏踏实实的物理学研究方法。这个方法也就是不断地从观测或实验中提取出有启发意义 的普遍规律，然后根据这些普遍规律提出行之有效的模型，这种模型并不是像“腊八粥”一样的什么都有的东西，而只要包含对实验和观测总结出的规律能进行解释 的因素就够了。然后再把这个模型放在实验或观测中去改进和发展，甚至要推翻重新来。但是建立庞杂的模型始终是物理学研究（也是其它许多自然科学研究领域） 的大忌，这是因为科学研究中许多成功的例子告诉我们，真实的自然界没有我们想象中的那么复杂，只是经常出入意料而已。一旦我们必须建立非常复杂的模型才能 解释观测事实的时候，也就是这个模型（或如库恩所说的“范式”）寿终正寝的时候了。例如：纵所周知，托勒密提出了“地心说”，哥白尼提出了“日心说”，然 而当哥白尼提出他的理论的时候，托勒密的理论并没有受到严重的挑战，因为这两种理论都可以对当时所有的观察事实做出解释，只是后者更加简单而已，历史发展 证明，大自然选择了简单的一方。
以上从方法论方面讨论了对于大气运动机理的研究——这个可预报性研究中的核心问题——应该借鉴物理学的研究方法。下面我将简略讨论一下物理学中的哪些研究 成果可以用来研究大气运动的机理。现在对于大气过程的动力学研究，还仅仅局限于经典的牛顿力学框架（Navier-Stoker方程就是基于牛顿力学提出 的方程）。从上个世纪初开始，这个理论经历了三个方面的修正或批判。首先，在分子原子尺度上，牛顿力学被量子力学所取代。其次，在高速和大引力场的情况 下，牛顿力学被修正为广义或狭义相对论。另外，对于热力平衡的大自由度系统，统计力学独领风骚，牛顿力学却无能为力。还有，自从Lorenz发现混沌以 来，以往在牛顿力学中被忽略的非线性问题被人们重视，最后逐步发展出了非线性动力学。现在，物理学又把目光投向了具有强烈非线性相互作用的大自由度非平衡 系统中，开创了完全摆脱牛顿力学研究框架的复杂性科学。其实，我们的大气系统不正是一个自由度非常大，并且各自由度之间具有强烈相互作用的非平衡系统吗？ 我们为什么不能抛弃牛顿力学的研究框架，而借助于物理学中关于复杂性科学的研究成果来研究大气系统呢？复杂性科学中的长程关联的概念也许可以解释大气各尺 度间存在的关联效应，断续平衡的概念也许可以用来理解天气或气候变化中不期而遇的突发性事件等等。无论如何，真正把大气运动作为一个复杂性系统来看待，利 用为它定身量做的复杂性科学这个研究工具，我们会期望对大气的运动有一个全新的认识，这样随之而来的也许就是对于天气和气候可预报性问题的终极解决。

这篇文章和《短期气候预测》是博主在大气所上《气候动力学》时提交的课程论文

关于科学研究的几点想法（Views on our research）

什么是科学研究？这个问题并不是那么容易回答的。在这里我只想强调一下自己对科学研究的两点认识。
首先，科学研究是以人们与生俱来的好奇心作为驱动力的，它的目的就是去不断的认识自然，以满足这种奇特的好奇心。自古以来，人类为什么要孜孜以求的探索自 然的奥秘。这难道仅仅是为了满足人类自身的物质需求吗？很明显，科学探索的目的不是为了物质文明的不断地提高。因为，第一，人们的研究活动在很大方面与实 际的应用无关，例如，对基本粒子的研究，对宇宙结构的研究以及对生命起源的探索等等；甚至人们在研究的初期所提出的问题也往往与实际的应用无关，例如，在 物理学领域传为佳话的牛顿的“万有引力”理论的发现，起源于“苹果为什么落地？”这样一个看似简单的问题。爱因斯坦也是从“当我以光速运动时，会看到什么 现象？”这样一个近似荒谬的问题开始相对论的研究的。分形几何的创始人曼德布罗特，写的第一篇关于分形的文章是“海岸线到底有多长？”等等。第二，很多参 与科学研究的人是安平乐道的，他们研究的目的不是为了自身的追求自身的物质享受，这种例子比比皆是，就不在这里列举了。那么，我们为什么要把大量的物力投 入到探寻外星生命，为什么大批优秀的科学家整日醉心于科学研究。我认为，种种事件的背后有一种奇特的力量的推动——那就是人类与生俱来的好奇之心。这种心 理促使人类不惜花费巨大的物资去探索自然；同时在探索自然的过程中面临的各种“光怪陆离”的现象，又刺激了人类的这种好奇心，从而科学探索活动代代相传， 绵延无际。常常伴随着“科学就是用来为人类创造物质财富”的观点出现的是另外一个观点：“科学可以导致人类的灭亡”。持这种观点的人认为科学导致了环境恶 化和毁灭性武器的诞生。这两种观点都是错的。科学的目的是为了认识自然，为人类造福还是带来灾难，都不是它的目的，而是它的“副产品”。所有的这些“副产 品”都不再属于科学的范畴，它们都是为了达到满足人们的其它需求而出现的，而不是为了满足人类的好奇心，从而不是科学讨论的问题。
其次，科学的内容并不一定是一层不变的真理。讨论科学的问题，必须放在一定的时代背景下。在古希腊，亚里士多德的世界观是科学，到了伽利略时代，科学的代 表是伽利略的学说。这时亚里士多德的世界观便显出了它的荒谬之处，便不再是科学了。从17世纪以来的300年，牛顿的世界观代表了那个时代的科学。但到了 20世纪，量子力学，相对论和混沌论从不同的方面结束了牛顿的世界观在科学领域的统治地位。我指出这一点，是想纠正这样一个错误的观点：“古人的对事物的 认识是多么的荒谬，它们不是科学。”这种观点是站在现今的时代看古人对事物的认识，是不对的。在我们这个时代不是科学，在他们那个时代就是科学了，我们要 看的是它们如何演变到我们今天对事物的认识上来的这样一个过程。这也正如杜甫在《戏为六绝句》中讽刺那些瞧不起前辈的时人所说：“王杨王卢骆当时体，轻薄 为文哂未休。尔曹身与名俱灭，不废江河万古流。”此外，正确认识古人的科学活动，应将重点放在前人的研究方法上，而不要一味地批判其研究结果。这里我举一 个例子。大家都熟悉“杞人忧天”这个成语，出自《列子》，现在人都理解列子讲这个故事是要讽刺那些天天吃饱没事干瞎琢磨，瞎操心的人，这实在是对这个故事 极大的误读。为了还原真相，让我们看看原文：“杞国有人忧天地崩坠，身亡所寄，废寝食者。又有忧彼之所忧者，因往晓之，曰：‘天，积气耳，亡处亡气。若屈 伸呼吸，终日在天中行止，奈何忧崩坠乎？’ 其人曰：‘天果积气？日、月、星、不当坠邪？’晓之者曰：‘日、月、星宿，亦积气中之有光耀者，只使坠，亦不能有所中伤。’其人曰：‘奈地坏何？’晓者 曰：‘地，积块耳，充塞四虚，亡处亡块。若躇步跐蹈？终日在地上行止，奈何忧其坏？’其人舍然大喜，晓之者亦舍然大喜。”从这个故事中，“杞人”首先提出 一个非常有趣的科学问题，这个问题看起来荒谬，却能触发人们对自然界更进一步的思考，发现更多的奥秘，关于这一点我在前面已经讨论过，此处不提。我们主要 看看“晓者”是怎么回答的。古人通过平时的观察，得到了几个经验：“轻的东西要上升，如气体，重的东西要下降，如石块”，这个经验当然不是百分之百的正 确，但也确实是对一些自然现象进行观察后的高度概括。那么晓者应用这个“经验”进行的第一个推论就是“天由气体组成”。随后“杞人”继续发问，“晓者”给 出了第二个推论“日月星宿由发光的气体组成。”先不管其结论对不对，我们注意到其中应用到了一个很重要的科学研究方法：观察——总结——推论。这种研究方 法在自然科学研究中发挥了巨大的作用，至今仍是科学研究中常用的方法之一。其实，“杞人忧天”的故事的研究方法是不完整的，在做出推论后，还应该有一个“ 验证”的过程。完整的方法链条应该是：“观察——总结——推论——验证——修正”，这里的“验证”包括实验验证和推理验证，前者要保证所有的推论和实验吻 合，后者要保证推理之间满足逻辑上的自洽性。尽管有这样那样的局限性，在数千年前我们的老祖先能有这种思想的萌芽，还是很了不起的，但是很可惜，这种思想 并没有被发扬光大。
为什么“杞人忧天”式的思想在我们国家起源很早，但却没有发展光大呢？为什么像这样可以和伽利略《关于两种世界体系的对话》相媲美的科学式思辨，千百年来 被人极大地误读呢？最终的答案是什么，我不知道，但李沉简先生的一段话，多少能给我们一些启发，他说“中华民族是最信奉实用主义的，而且常常是彻底的实用 主义，它浸透了我们文化的每一根经纬度：从孔子的实用主义理论，到走了原样的实用主义佛教，到精粹专集的实用主义政治学《资治通鉴》。我们历史上的成功在 于实用主义，而近代与现代的失败也在于此。因为没有求真的指南，实用主义的强大蒸汽机便把整列火车推向了不明方向的去路。”（费曼 著，李沉简，徐杨译，《你干嘛在乎别人怎么想》，1999年，译者序）。我相信，中国千百年来所奉行的“经国治世之道”以及“仕途经济学问”（《红楼梦》 中贾宝玉所厌烦的那种），也就是无论什么事情总问一个有用没用或对自己有利没利的实用功利主义原则，必然是导致科学思辨受到压抑，以致缺乏重要科学原创的 一个重要原因。其实早在1793年出使中国的马戛尔尼就在其笔记中指出：“…此殆以当时士所研究者初无成绩之可言，或即有成绩亦不切实用，遂致中国政府不 复以科学为人生所急，而对于西洋物质上之进步亦以此一概抹杀”（马戛尔尼 著，刘半农 译，《1793乾隆英使觐见记》，天津人民出版社，2006年，207页）。扪心自问，我们是否完全改正了1793年祖先们曾经犯过的错误，这是仁者见 仁、智者见智的问题，在此就不多论述了。
有了上面对科学研究的一些认识后，下面我再谈谈科学发展的结构。有人认为，科学发展是缓慢的累积的过程。随着研究的深入，人们在原有基础上的认识越来越丰 富，科学也就随着知识的不断丰富而不断的向前发展。另外一些人认为，科学总是处在不断的更新之中。在不断的从根本上批判旧的观点的同时寻求自身的发展。著 名的思想家托马斯·库恩认为，科学的发展是这两种模式交替的结果。科学通过摆脱旧有模式的桎捁，寻求自身的发展道路。一旦它找到了适合的发展道路，便获得 极大的发展，从而进入了一个相对缓和的积累阶段，直至下一个科学革命的到来。库恩用“范式”来描述科学通过革命建立起来的一套新的研究体系。他认为成为“ 范式”科学研究体系有两个重要的特征：改体系所取得的“成就能空前的吸引一批坚定的拥护者，使他们脱离科学活动的其它竞争模式。同时，这些成就又足以无限 制地为重新组成的一批实践者留下有待解决的种种问题。”（托马斯·库恩 著，金吾伦，胡新 译，《科学革命的结构》，北京大学出版社，2004年） 以19世纪建立起来的物理光学为例，早期人们对于光的本质的认识主要有“微粒说”和“波动说”，这两种学说各执一是，孰是孰非，难以分辨。直到由杨做出光 的衍射试验证明了“波动说”以后，“微粒说”才逐渐的推出了历史的舞台。从此，物理光学的研究便植根于杨和菲涅尔的光学著作所建立的范式中。物理学家按照 光是波的假设继续研究下去，不断的用这这种范式所建立起来的语言与方法来做出预言，从而寻求试验的证实。还有一个例子来自于非线性物理学。大家知道，牛顿 在总结前人经验的基础上建立了经典的力学体系，由于人们通过运用牛顿力学的巨大的成功，也逐渐形成了一种深深的信念。那就是，知道了系统的力的作用和初始 条件，我便能完全预言系统将来的行为，并且两个相差不是很大的初始条件不会导致系统行为的巨大差异。我想这就是经典力学的“范式”的一种体现，因为在这种 信念的指导下，人们也形成了一套研究的方法：通过研究具体的系统，在忽略被认为不起主要作用的非线性项的前提下，建立系统的微分方程，通过解微分方程来预 言系统的行为以和实验比较。通过这种方法，人们取得了巨大的成功。这种方法被写进教科书，作为每一个物理的初学者必读的“圣经”。然而，到了上个世纪70 年代，人们发现了一种奇特的现象——“混沌”。这种现象正是由被人们忽略的非线性项引起的。他的出现，彻底打破了人们所认为的可以通过测得初始条件和系统 所受到的力来预言系统的行为。因为“混沌”现象的出现说明，非线性项可以导致初始条件差别极小的系统有着极其不同的行为。对初始条件测量总是有误差存在 的，哪怕再小的误差，可能导致系统行为的差异不是微小的，而是巨大的。这种在现实世界中普遍存在的“混沌”现象，从原有的建立微分方程的方法出发来进行研 究是不行的。这时，一些科学家放弃了传统观念的束缚，开始用新的思维和方法来进行研究，从而促成了非线性动力学的建立，一个新的范式在逐步的被建立起来。 各种被验证为正确的方法和观念将以更精致的面貌被非线性动力学家们所使用。一些新的科学团体逐步形成，他们的目标就是要在新建立的体系中，用新的语言去解决诸多的问题。

写于2005年4月4日，改于2008年12月17日

博主上中科院政治课曾交过这篇文章作为期末考试论文